Bạn đang gặp khó khăn khi làm bài tập về hằng đẳng thức? Không hiểu cách giải hoặc không nhớ công thức?
Hãy cùng Hangdangthuc.com khám phá các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng của chúng qua những ví dụ cụ thể, dễ hiểu ngay tại đây!
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Đẳng thức là cặp biểu thức nối liền với nhau bởi dấu =
Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi trị số gán cho các chữ trong đó.
Còn theo Wikipedia định nghĩa thì: Hằng đẳng thức nghĩa là một loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau, hợp lại thành một hằng đẳng thức.
Ví dụ: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 là một hằng đẳng thức vì:
Biểu thức (a+b)2 và biểu thức a2 +2ab +b2 được nối với nhau bởi dấu =
Với mọi giá trị của a, b thì đẳng thức luôn đúng.
Còn không là một hằng đẳng thức vì hai biểu thức không được nối với nhau bởi dấu =
Hằng đẳng thức được ứng dụng rất nhiều trong Toán học, tiêu biểu nhất là:
Hằng đẳng thức số 1 - Bình phương của một tổng
Công thức: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Giải thích: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
Hằng đẳng thức số 2 - Bình phương của một hiệu
Công thức: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Giải thích: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
Hằng đẳng thức số 3 - Hiệu hai bình phương
Công thức: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Giải thích: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 – 9
* Lời giải:
– Ta có: 4x2 – 9 = (2x)2 – (3)2 = (2x – 3)(2x + 3)
Hằng đẳng thức số 4 - Lập phương của một tổng
Công thức: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Giải thích: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
Hằng đẳng thức số 5 - Lập phương của một hiệu
Công thức: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
Giải thích: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai
* Ví dụ
(2x – 3y)3 = (2x)3 – 3.(2x)2(3y) + 3(2x).(3y)2 – (3y)3 = 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
Hằng đẳng thức số 6 - Tổng hai lập phương
Công thức: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Giải thích: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x + 4)(x2 – 4x + 42) = (x + 4)(x2 – 4x + 16)
Hằng đẳng thức số 7 - Hiệu hai lập phương
Công thức: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Giải thích: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 – y3
8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x – y)[(2x)2 + (2x).y + y2] = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a + b= -(-a – b); (a + b)2= [-(-a – b)]2 ; (a – b)2= [-(b – a)]2; (a + b)3 = [-(-a – b)]3; (a – b)3=[-(-a + b)]3
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
– Ta có: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi: x – 1 = 0 hay x = 1
⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
– Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
– Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]
⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi: x – 2 = 0 hay x = 2
⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A
– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2 - x)(x - 4) - 2
* Lời giải:
– Ta có: B = (2 - x)(x - 4) – 2 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1
– Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]
= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]
= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x2 – 2xy – x + 2y
= (x2 – x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2(x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
Trong toán học, hằng đẳng thức nghĩa là 1 loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau hợp lại thành một hằng đẳng thức. Các hằng đẳng thức được sử dụng nhiều trong các môn toán của học sinh cấp II và cấp III.
Leonhard Euler (/ˈɔɪlər/ OY-lər, tiếng Đức: [ˈleːɔnhaʁt ˈɔɪ̯lɐ]; 15 tháng 4 năm 1707 – 18 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy Sĩ.
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp cho các bạn học sinh có thể rèn luyện được kỹ năng quan sát cũng như sự tỉ mỉ, khả năng phân tích vấn đề trong bài toán, qua đó giúp rèn luyện được sự cẩn thận hơn trong cuộc sống.
Trong toán học sơ cấp, bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là những đẳng thức cơ bản nhất mà mỗi người học toán cần phải nắm vững. Các đẳng thức được chứng minh bằng phép nhân đa thức với đa thức.