Làm bài tập về hằng đẳng thức mà không biết làm, không hiểu thì phải làm sao cùng Hangdangthuc.com tìm hiểu về các hằng đẳng thức đáng nhớ và các ứng dụng cơ bản của chúng tại đây nhé!
Hằng đẳng thức là gì?
Đẳng thức là cặp biểu thức nối liền với nhau bởi dấu =
Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi trị số gán cho các chữ trong đó.
Còn theo Wikipedia định nghĩa thì: Hằng đẳng thức nghĩa là một loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau, hợp lại thành một hằng đẳng thức.
Ví dụ: (a+b)2 = a2 +2ab +b2 là một hằng đẳng thức vì:
Biểu thức (a+b)2 và biểu thức a2 +2ab +b2 được nối với nhau bởi dấu =
Với mọi giá trị của a, b thì đẳng thức luôn đúng.
Còn không là một hằng đẳng thức vì hai biểu thức không được nối với nhau bởi dấu =
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức dùng để làm gì?
Hằng đẳng thức được ứng dụng rất nhiều trong Toán học, tiêu biểu nhất là:
- Phân tích đa thức thành nhân tử.
- Tính giá trị biểu thức.
- Giải hệ phương trình đối xứng.
Chi tiết công thức về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
Công thức: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Giải thích: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai
Bình phương của một tổng
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
- a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x + 1)2
- b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x + y)2
2. Bình phương của một hiệu
Công thức: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Giải thích: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
Bình phương của một hiệu
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
- c) 25a2 + 4b2 – 20ab = 25a2 – 20ab + 4b2 = (5a)2 – 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a + 2b)2
3. Hiệu hai bình phương
Công thức: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Giải thích: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.
Hiệu hai bình phương
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 – 9
* Lời giải:
– Ta có: 4x2 – 9 = (2x)2 – (3)2 = (2x – 3)(2x + 3)
4. Lập phương của một tổng
Công thức: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
Giải thích: Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.
Lập phương của một tổng
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
- a) (2x2 + 3y)3 = (2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
Công thức: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
Giải thích: Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai
Lập phương của một hiệu
* Ví dụ
(2x – 3y)3 = (2x)3 – 3.(2x)2(3y) + 3(2x).(3y)2 – (3y)3 = 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
6. Tổng hai lập phương
Công thức: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Giải thích: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó
Tổng hai lập phương
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x + 4)(x2 – 4x + 42) = (x + 4)(x2 – 4x + 16)
7. Hiệu hai lập phương
Công thức: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Giải thích: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
Hiệu hai lập phương
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8x3 – y3
8x3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x – y)[(2x)2 + (2x).y + y2] = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a + b= -(-a – b); (a + b)2= [-(-a – b)]2 ; (a – b)2= [-(b – a)]2; (a + b)3 = [-(-a – b)]3; (a – b)3=[-(-a + b)]3
Các dạng bài toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
– Ta có: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1
⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
– Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
– Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]
⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A
– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức
– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2 – x)(x – 4) – 2
* Lời giải:
– Ta có: B = (2 – x)(x – 4) – 2 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1
– Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]
= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]
= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x2 – 2xy – x + 2y
= (x2 – x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Ví dụ 4: Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Dạng 8: Tìm giá trị của x
Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2(x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
