Công thức hằng đẳng thức mở rộng – Lý thuyết và bài tập

Ngoài 7 hằng đẳng thức cơ bản các bạn cần phải nắm rõ thì trong toán học chúng ta lại có thêm các hằng đẳng thức mở rộng.  Để nắm được kiến thức về hằng đẳng thức mở rộng đầy đủ và chính xác nhất. Thì bài viết sau đây Hangdangthuc xin giới thiệu đến các bạn danh sách các hằng đẳng thức mở rộng tại đây!

Các hằng đẳng thức mở rộng thường gặp

Bạn cũng cần phải lưu ý đến những hằng đẳng thức mở rộng thường gặp nhất trong các bài thi và bài kiểm tra như sau:

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
• (a + b − c)² = a² + b² + c² + 2ab − 2ac − 2bc
• (a − b − c)² = a² + b² + c² − 2ab − 2ac + 2bc

Hằng đẳng thức mũ 3

• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) = (a + b) − 3a²b − 3ab² = (a + b)³ − 3ab(a + b)
• a³ – b³ = (a − b)(a² + ab + b²) = (a − b)³ + 3a²b − 3ab² = (a − b)³ + 3ab(a − b)
• (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c)(b + c)
• a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
• (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)
• (a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c(a – b)²
• (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc
• (a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c(a – b)²
• (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 − a^n-2b + a^n-3b² − a^n-4b³ +…+ a²b^n-3 − a.b^n-2 + b^n-1)

*Với n là số lẻ thuộc tập N

aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² +…+ a²b^n-3 + ab^n-2 + b^n-1)

Tìm hiểu nhị thức Newton là gì?

Với:

• a,b ϵ R
• n ϵ N∗

Các hằng đẳng thức mở rộng nâng cao

Với những bài toán nâng cao, các bạn cần áp dụng các hằng đẳng thức mở rộng như sau:

Bình phương của (n) số hạng ((n>2))

(a₁ + a₂ + a₃ +…+ a_n+1 + a_n)² = a₁² + a₂² + a₃² +…+ a_n² + 2a₁a₂ + 2a₁a₃ +…+ 2a₁a_n + 2a₂a₃…+ a_n-1a_n

Hằng đẳng thức (aⁿ + bⁿ) (với n là số lẻ)

aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 – a^n-2b + a^n-3b² +…+ b^n-1)

Hằng đẳng thức  (aⁿ – bⁿ) (với n là số lẻ)

aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² +…+ b^n-1)

Hằng đẳng thức  (aⁿ – bⁿ) (với n là số chẵn)

an – bn = (a – b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² +…+ b^n-1)

hoặc: = (a + b)(a^n-1 – a^n-2b + a^n-3b² +…- b^n-1)

Lưu ý: Gặp bài toán có công thức (aⁿ – bⁿ) (với n là số chẵn) hãy nhớ đến công thức:

• a² – b² = (a + b)(a – b) (viết (a+b) trước )
• a² – b² = (a – b)(a + b) (viết (a-b) trước ).

Chú ý: Gặp bài toán (aⁿ + bⁿ) (với n là số chẵn) hãy nhớ

(a² + b²) không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Thế nhưng trong một vài trường hợp đặc biệt có số mũ bằng 4k có thể được biến đổi thành tích được.

Bài tập có đáp án về hằng đẳng thức mở rộng

Bài 1: Tìm x biết

1. a) (x – 3)(x² + 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 0.
2. b) (x + 1)³ – (x – 1)³ – 6(x – 1)² = -10.

Lời giải:

1. a) Áp dụng các hằng đẳng thức (a – b)( a² + ab + b² ) = a³ – b³.

(a – b)(a + b) = a² – b².

Khi đó ta có (x – 3)(x² + 3x + 9) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.

⇔ x³ – 3³ + x(2² – x²) = 0 ⇔ x³ – 27 + x(4 – x²) = 0

⇔ x³ – x³ + 4x – 27 = 0

⇔ 4x – 27 = 0 ⇔ x = 27/4.

Vậy giá trị x cần tìm là x= 27/4 .

1. b) Áp dụng hằng đẳng thức (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Khi đó ta có: (x + 1)³ – (x – 1)³ – 6(x – 1)² = -10.

⇔ (x³ + 3x² + 3x + 1) – (x³ – 3x² + 3x – 1) – 6(x² – 2x + 1) = -10

⇔ 6x² + 2 – 6x² + 12x – 6 = -10

⇔ 12x = -6 ⇔ x = -1/2.

Vậy giá trị x cần tìm là x= -½

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

A = (x – 2y)(x² + 2xy + y²) – (x + 2y)(x² – 2xy + y²)

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) và a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) ta được:

A = (x – 2y)(x² + 2xy + y²) – (x + 2y)(x² – 2xy + y²)

A = x³ – (2y)³ – [x³ + (2y)³]

A = x³ – 8y³ – x³ – 8y³ = -16y³

Bài 3:  Tìm x

Tìm x biết x² – 16 + x(x – 4) = 0

Lời giải:

Ta có: x² – 16 + x(x – 4) = 0

⇔ (x + 4)(x – 4) + x(x – 4) = 0

⇔ (x + 4 + x)(x – 4) = 0

⇔ (2x + 4)(x – 4) = 0

⇔ 2x + 4 = 0 hoặc x – 4 = 0

* Nếu 2x + 4 = 0 thì x = -2

* Nếu x – 4 = 0 thì x = 4

Vậy x = -2 hoặc x = 4.

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức

A = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ tại x = 2 và y = -1.

Lời giải:

Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Khi đó ta có:

A = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ = (2x)³ + 3(2x)²y + 3(2x)y² + y³ = (2x + y)³

Với x = 2 và y = -1 ta có A = (2.2 – 1)³ = 3³ = 27.

Bài 5: Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

1. a) 127² + 146.127 + 73²
2. b) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)
3. c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
4. d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

Lời Giải:

1. a) A = 127² + 146.127 + 73²

= 127² + 2.73.127 + 73²

= (127 + 73)²

= 200²

= 40000.

2. b) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

= 18⁸ – (18⁸ – 1)

= 1

3. c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 5050.

4. d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Kết luận

Trên đây là những chia sẻ về các hằng đẳng thức mở rộng và nâng cao, chúng tôi hy vọng đã giúp bạn nắm được những thông tin hữu ích nhất. Nếu như bạn còn có bất kỳ các thắc mắc nào muốn được tư vấn và hỗ trợ nhanh nhất về vấn đề này thì hãy liên hệ với chúng tôi để được giải đáp nhanh chóng nhất.

Xem thêm: Công thức hằng đẳng thức số 7 – Lý thuyết và bài tập