1. Giới thiệu
Trong chương trình Toán lớp 8, phép chia đơn thức và đa thức cho đơn thức là một nội dung quan trọng của phần đại số. Nếu như phép nhân giúp mở rộng biểu thức thì phép chia lại giúp rút gọn và đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn. Đây là kiến thức xuất hiện rất nhiều trong bài tập cơ bản, bài tập nâng cao và cả những dạng toán liên quan đến phân tích đa thức, rút gọn biểu thức hay giải phương trình.
Vì vậy, thay vì chỉ học thuộc quy tắc, bạn cần hiểu rõ bản chất của phép chia và biết cách áp dụng vào từng dạng bài cụ thể. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy nội dung này không khó mà còn rất có hệ thống.
2. Khái niệm cơ bản
Phép chia trong đại số là phép toán ngược của phép nhân. Nói cách khác, nếu A x B = C thì C : B = A.
Ví dụ:
6x^2 : 3x = 2x
Vì:
2x x 3x = 6x^2
Từ đó có thể hiểu rằng khi chia một đơn thức hay đa thức cho một đơn thức, ta đang đi tìm biểu thức mà khi nhân với số chia sẽ thu được số bị chia.
Khái niệm này nghe có vẻ đơn giản, nhưng khi biểu thức có nhiều biến hoặc nhiều hạng tử thì cách làm cần rõ ràng và có quy tắc. Nếu không, học sinh rất dễ làm theo cảm tính và cho ra kết quả sai.
3. Chia đơn thức cho đơn thức
3.1. Quy tắc
Muốn chia một đơn thức cho một đơn thức, ta thực hiện theo hai bước:
Chia hệ số cho hệ số
Chia phần biến theo quy tắc lũy thừa cùng cơ số
Quy tắc lũy thừa cần nhớ là:
a^m : a^n = a^(m – n), với m lớn hơn hoặc bằng n
Nói đơn giản, khi chia các biến giống nhau, ta giữ nguyên cơ số và trừ số mũ.
3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
12x^4 : 3x^2
Ta có:
12 : 3 = 4
x^4 : x^2 = x^(4 – 2) = x^2
Vậy kết quả là:
12x^4 : 3x^2 = 4x^2
Ví dụ 2:
18x^5y^3 : 6x^2y
Ta chia từng phần:
18 : 6 = 3
x^5 : x^2 = x^3
y^3 : y = y^2
Vậy:
18x^5y^3 : 6x^2y = 3x^3y^2
Ví dụ 3:
-20a^4b^2 : 5a^2b
Ta có:
-20 : 5 = -4
a^4 : a^2 = a^2
b^2 : b = b
Vậy kết quả là:
-4a^2b
3.3. Điều kiện cần chú ý
Không phải phép chia nào cũng thực hiện được trong phạm vi đơn thức. Muốn chia được, số mũ của biến trong số bị chia phải lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến trong số chia.
Ví dụ:
x^2 : x^3
Phép chia này không cho kết quả là một đơn thức trong phạm vi kiến thức lớp 8, vì số mũ 2 nhỏ hơn 3.
Ngoài ra, không bao giờ được chia cho 0. Đây là điều kiện cơ bản nhưng rất nhiều học sinh vẫn có thể quên khi làm bài.
4. Chia đa thức cho đơn thức
4.1. Quy tắc
Muốn chia một đa thức cho một đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả lại với nhau.
Đây là quy tắc rất quan trọng. Nhiều học sinh chỉ chia hạng tử đầu tiên rồi giữ nguyên các hạng tử còn lại, dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.
4.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
(6x^2 + 12x) : 6x
Ta chia từng hạng tử:
6x^2 : 6x = x
12x : 6x = 2
Vậy kết quả là:
x + 2
Ví dụ 2:
(15x^3 – 5x^2 + 10x) : 5x
Ta có:
15x^3 : 5x = 3x^2
-5x^2 : 5x = -x
10x : 5x = 2
Vậy:
(15x^3 – 5x^2 + 10x) : 5x = 3x^2 – x + 2
Ví dụ 3:
(12a^2b + 6ab^2 – 18ab) : 6ab
Ta thực hiện:
12a^2b : 6ab = 2a
6ab^2 : 6ab = b
-18ab : 6ab = -3
Vậy kết quả là:
2a + b – 3
4.3. Ví dụ có nhiều biến hơn
Ví dụ 4:
(20x^3y^2 – 10x^2y + 5xy) : 5xy
Ta chia từng hạng tử:
20x^3y^2 : 5xy = 4x^2y
-10x^2y : 5xy = -2x
5xy : 5xy = 1
Vậy:
(20x^3y^2 – 10x^2y + 5xy) : 5xy = 4x^2y – 2x + 1
5. Bản chất của phép chia đa thức cho đơn thức
Nhiều bạn chỉ học thuộc quy tắc mà không hiểu tại sao phải chia từng hạng tử. Thực ra, điều này xuất phát từ tính chất phân phối của phép nhân.
Ví dụ, nếu:
x(2x + 3) = 2x^2 + 3x
thì ngược lại:
(2x^2 + 3x) : x = 2x + 3
Nghĩa là phép chia đang “thu lại” phép nhân trước đó. Vì đơn thức đã nhân với từng hạng tử trong ngoặc, nên khi chia ngược lại, ta cũng phải chia từng hạng tử một.
Khi hiểu được bản chất này, bạn sẽ ít bị nhầm hơn và có thể tự kiểm tra kết quả bằng cách nhân ngược trở lại.
6. Các dạng bài thường gặp
Trong quá trình học, học sinh thường gặp các dạng bài sau.
Dạng thứ nhất là chia đơn thức cho đơn thức. Đây là dạng cơ bản nhất, chủ yếu luyện quy tắc chia hệ số và trừ số mũ.
Dạng thứ hai là chia đa thức cho đơn thức. Dạng này yêu cầu cẩn thận hơn vì phải chia từng hạng tử.
Dạng thứ ba là rút gọn biểu thức. Ở dạng này, phép chia thường xuất hiện trong biểu thức dài hơn nên học sinh cần kết hợp chia, cộng, trừ hoặc nhân.
Dạng thứ tư là tính giá trị biểu thức sau khi chia. Sau khi biến đổi xong, học sinh thay giá trị của biến để tính kết quả cuối cùng.
Dạng thứ năm là tìm lỗi sai hoặc chứng minh kết quả. Dạng này giúp kiểm tra xem học sinh có thật sự hiểu quy tắc hay chỉ làm theo thói quen.
7. Những lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất là chia sai phần biến.
Ví dụ sai:
x^5 : x^2 = x^5
Đúng phải là:
x^3
Lỗi này xảy ra vì học sinh quên quy tắc trừ số mũ.
Lỗi thứ hai là không chia từng hạng tử.
Ví dụ sai:
(8x^2 + 4x) : 4x = 2x^2 + x
Đúng phải là:
2x + 1
Lỗi thứ ba là nhầm dấu âm dương.
Ví dụ:
-6x^2 : 3x
Kết quả đúng là:
-2x
Một số học sinh vì làm nhanh nên bỏ mất dấu âm.
Lỗi thứ tư là chia khi không đủ điều kiện.
Ví dụ:
(x^2 + 1) : x
Trong biểu thức này, x^2 chia cho x được, nhưng 1 chia cho x không cho kết quả là một đa thức trong phạm vi đang học. Vì vậy không thể coi kết quả là một đa thức đơn giản như các bài cơ bản.
8. Bài tập vận dụng
Bài 1: 12x^3 : 3x
Bài 2: 20x^5 : 5x^2
Bài 3: 18x^4y^2 : 6x^2y
Bài 4: -24a^3b : 6ab
Bài 5: 35x^6 : 7x^3
Bài 6: 16m^4n^2 : 4m^2n
Bài 7: (6x^2 + 18x) : 6x
Bài 8: (10x^3 – 5x^2) : 5x
Bài 9: (9x^3 + 6x^2 + 3x) : 3x
Bài 10: (8a^2b + 4ab^2) : 4ab
Bài 11: (12x^3 – 6x^2 + 3x) : 3x
Bài 12: (25x^2 + 10x) : 5x
Bài 13: (30x^4 – 15x^3 + 5x^2) : 5x^2
Bài 14: (18y^3 – 9y^2 + 3y) : 3y
Bài 15: (14a^2 + 7a) : 7a
Bài 16: (21x^3 + 7x^2) : 7x^2
Bài 17: (24x^3 – 12x^2 + 6x) : 6x
Bài 18: (20a^3b – 10a^2b + 5ab) : 5ab
Bài 19: Rút gọn (6x^2 + 12x) : 6x
Bài 20: Rút gọn (8x^3 – 4x^2) : 4x
Bài 21: Rút gọn (9x^2 + 3x) : 3x
Bài 22: Rút gọn (20a^2b + 10ab^2) : 10ab
Bài 23: Rút gọn (15x^3 – 5x^2 + 10x) : 5x
Bài 24: Rút gọn (18m^2n + 6mn^2 – 12mn) : 6mn
Bài 25: Tính giá trị của (12x^2 + 6x) : 6x tại x = 2
Bài 26: Tính giá trị của (15x^3 – 5x^2 + 10x) : 5x tại x = 1
Bài 27: Tính giá trị của (8a^2b + 4ab^2) : 4ab tại a = 2, b = 3
9. Đáp án
Bài 1: 4x^2
Bài 2: 4x^3
Bài 3: 3x^2y
Bài 4: -4a^2
Bài 5: 5x^3
Bài 6: 4m^2n
Bài 7: x + 3
Bài 8: 2x^2 – x
Bài 9: 3x^2 + 2x + 1
Bài 10: 2a + b
Bài 11: 4x^2 – 2x + 1
Bài 12: 5x + 2
Bài 13: 6x^2 – 3x + 1
Bài 14: 6y^2 – 3y + 1
Bài 15: 2a + 1
Bài 16: 3x + 1
Bài 17: 4x^2 – 2x + 1
Bài 18: 4a^2 – 2a + 1
Bài 19: x + 2
Bài 20: 2x^2 – x
Bài 21: 3x + 1
Bài 22: 2a + b
Bài 23: 3x^2 – x + 2
Bài 24: 3m + n – 2
Bài 25: 3
Bài 26: 4
Bài 27: 7
10. Kết luận
Phép chia đơn thức và đa thức cho đơn thức là một kỹ năng cơ bản nhưng có vai trò rất lớn trong quá trình học đại số. Khi hiểu rõ bản chất của phép chia, học sinh sẽ không chỉ làm đúng các bài toán đơn lẻ mà còn dễ dàng xử lý những biểu thức phức tạp hơn ở các phần sau.
