Giải chi tiết bài tập hằng đẳng thức lớp 8

bài tập hằng đẳng thức lớp 8

Hằng đẳng thức là một trong những kiến thức toán học có độ khó cũng như phức tạp cao, và đây cũng là dạng toán được ứng dụng nhiều trong các dạng bài tập khác nhau ở các cấp học cao hơn. Bài viết này sẽ tập hợp các kiến thức cũng như bài tập liên quan đến bài tập hằng đẳng thức lớp 8 cho các em muốn ôn tập hoặc làm thêm để nâng cao kiến thức trong mùa hè này.

Lý thuyết về hằng đẳng thức

Bình phương của một tổng: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Bình phương của một hiệu: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.

(A – B)2 = A2  – 2AB + B2

Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

Lập phương của một tổng: Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Lập phương của một hiệu: Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất – 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai – lập phương số thứ hai.

(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3A2 – B3

Tổng hai lập phương: Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.

(A + B)( A2 – AB + B2) = A3 +B3

Hiệu hai lập phương: Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.

(A – B)( A2 + AB + B2) = A3 – B3

Các dạng bài tập ứng dụng hằng đẳng thức​

Dạng bài tập 1: Biến đổi biểu thức

Phương pháp làm: áp dụng 7 hằng đẳng thức để thực hiện phép biến đổi biểu thức

Ví dụ: (2x + 3y)2 = 4x2 + 2.2x.3y + 9y2 = 4x2 + 12x.y + 9y2

Dạng bài tập 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: với dạng toán này chúng ta có thể giải theo phương pháp như sau:

  1. Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị.
  2. Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.
  3. Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.

Ví dụ: Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức A = x3 + 3xy + y3

Áp dụng hằng đẳng thức bậc ba ta được: A = x3 + 3xy + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) + 3xy

= (x + y)((x + y)2 – 3xy) + 3xy

Theo bài ra x + y = 1. Thay vào biểu thức A ta được:

A = 1.(1 – 3xy) + 3xy = 1

Dạng bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x). Áp dụng hằng đẳng thức ta biến đổi được về dạng: n + Q(x) >= n (với n là hằng số), suy ra GTNN của A(x) là n.

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 – 2x + 5

Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

Dạng bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Phương pháp: Giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Áp dụng hằng đẳng thức ta biến đổi được về dạng: m – Q(x) =< m (với m là hằng số), suy ra GTLN của A(x) là m.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 4x – x2 + 3

Ta có: A = 4x – x2 + 3

= 7 – x2 + 4x – 4

= 7 – (x2 – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2

Dạng bài tập 5: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Phương pháp: Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Từ đó chúng ta biến đổi sao cho vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại, hay chứng minh vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

Ví dụ: Chứng minh: (x2 – xy – y)(x + y) + xy(y + 1) = x3 – y2

Ta có: VT = (x2 – xy – y)(x + y) + xy(y + 1)

= x3 + x2y – x2y – xy2 – xy – y2 + xy2+ xy

= x3 – y2 = VP

Bài tập hằng đẳng thức lớp 8 (có đáp án chi tiết)

Bài 1: Biến đổi các biểu thức sau bằng việc áp dụng các hằng đẳng thức

a. (x + 2y)2

b. (x – 3y)(x + 3y)

c. (5 – x)2

d. (x – 1)2

e. (3 – y)2

f. (x – 1/2)2

Trả lời:

a. (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b. (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c. (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

d. (x – 1)2 = x2 – 2x + 1

e. (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

f. (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a. (x + y)2 + (x – y)2

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Trả lời:

a. (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau trên cơ sở áp dụng các hằng đẳng thức đã học

a. x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b. x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 97

Trả lời:

a. Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

b, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3x23 + 3×32 + 33

= (x + 3)2

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Bài 4: Chứng minh rằng:

(a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

Trả lời:

Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2)

= a3 + b3 + a3 – b3 = 2a2

Như vậy, vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 5: Áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức để chứng tỏ rằng 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Trả lời: Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 – 1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 – 1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Bài 6: Áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức hãy tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Trả lời:

Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0 ⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Bài tập nâng cao cho các hằng đẳng thức

Bài 1. Cho đa thức 2x2 – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải

Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x2 – 5x + 3

= 2(y – 1)2 – 5(y – 1) + 3 = 2(y2 – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y2 – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

  1. a) 1272 + 146.127 + 732
  2. b) 98.28– (184 – 1)(184 + 1)
  3. c) 1002 – 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 12
  4. d) (202 + 182 + 162 +…+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 +…+ 32 + 12)

Lời Giải

  1. a) A = 1272 + 146.127 + 732

= 1272 + 2.73.127 + 732

= (127 + 73)2

= 2002

= 40000 .

147. b) B = 98.28– (184 – 1)(184 + 1)

= 188 – (188 – 1)

= 1

148. c) C = 1002 – 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 12

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 5050.

149. d) D = (202 + 182 + 162 +…+ 42 + 22) – ( 192 + 172 + 152 +…+ 32 + 12)

= (202 – 192) + (182 – 172) + (162 – 152)+ …+ (42 – 32) + (22 – 12)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

  1. a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
  2. b) A = 1989.1991 và B = 19902

Gợi ý đáp án

  1. a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

Ta áp dụng đẳng thức (a – b)(a + b) = a2 – b2 nhiều lần, ta được:

A = 232 – 1.

=> Vậy A < B.

  1. b) Ta đặt 1990 = x => B = x2

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x2 – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

  1. a) a(a – 6) + 10 > 0.
  2. b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.
  3. c) a2 + a + 1 > 0.

Lời Giải

  1. a) VT = a2 – 6a + 10 = (a – 3)2 + 1 ≥ 1

=> VT > 0

2. b) VT = x2 – 8x + 19 = (x – 4)2 + 3 ≥ 3

=> VT > 0

3. c) a2 + a + 1 = a2 + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )2 + ¾ ≥ ¾ >0.

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

  1. a) A = x2 – 4x + 1
  2. b) B = 4x2 + 4x + 11
  3. c) C = 3x2 – 6x – 1

Lời giải

  1. a) Ta sẽ biến đổi A= x2 – 4x + 1 = x2 – 4x + 4 – 3 = (x – 2)2 – 3

Do (x – 2)2 > 0 nên => (x – 2)2 – 3 ≥ -3

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(Amin) = -3 khi và chỉ khi x = 2.

  1. b) B = 4x2 + 4x + 11 = (2x + 1)2 + 10

Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.

  1. c) C = 3x2 – 6x – 1 = 3(x – 1)2 – 4

Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.

Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a)

Ta sẽ đi biến đổi VP.

VP = 2p(2p – 2a) = (b + c + a)( b + c – a) = (b + c)2 – a2 = b2 + 2bc + c2 – a2 = VT (đccm)

Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.

Lời Giải

Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 (x chẵn). Ta có:

(x + 2)2 – x2 = 36

<=> x2 + 4x + 4 – x2 = 36

<=> 4x = 32

<=> x = 8

=> số thứ 2 là 8 + 2 = 10

Đáp số: 8 và 10

Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74

Lời Giải

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 ( đk: x>0)

Vậy ta có: x(x – 1) + (x – 1)(x + 1) + x(x + 1)= 74

Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:

x2 = 25 <=> x = -5 , x = 5

So sánh với Đk: x>o => x = 5 (t/m).

Vậy đáp số: 4, 5, 6.

Bài tập tự giải

Bài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

  1. a) (a2 – b2)2 + (2ab)2 = (a2 + b2)2
  2. b) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:

(p – a)2 + (p – b)2 + (p – c)2 = a2 + b2 + c2 – p2

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

  1. a) 5 – 8x – x2
  2. b) 4x – x2 + 1

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:

  1. a) x2 – 10x + 26 với x = 105
  2. b) x2 + 0,2x + 0,01 với x = 0,9

Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy.

Đ/S: 9 và 11.

Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca.

Đ/S: ab + bc + ca = 14.

Bài tập các bài toán

Bài toán 1: Tính

1. (x + 2y)2 11. (x2 − 2y)2
2. (2x + 3y)2 12. (2x − y)2
3. (3x − 2y)2 13. (32x + 3y)2
4. (5x − y)2 14. (2x + 8y)2
5. (x + 14)2 15. (x + 16y + 3)2
6. (2x − 12)2 16. (12x − 4y)2
7. (13x − 12y)2 17. (x2 + 2y2)(x2 − 2y2)
8. (3x + 1)(3x −.1) 18. (x2 − 4)(x2 + 4)
9. (x2 + 25y)(x2 − 25y) 19. (x + y)2 + (x − y)2
10. (x2 − y)(x2 + y) 20. (2x + 3)2 − (x + 1)2

Bài toán 2: Tính

1. (x + 13)3 8. (x + 1)(x2 − x + 1)
2. (2x + y2)3 9. (x − 3)(x2 + 3x + 9)
3. (12x2 + 13y)3 10. (x − 2)(x2 + 2x + 4)
4. (3x2 − 2y)3 11. (x + 4)(x2 − 4x + 16)
5. (23x2 − 12y)3 12. (x − 3y)(x2 + 3xy + 9y2)
6. (2x + 12)3 13. (x2 − 13)(x2 + 13x2 + 19)
7. (x − 3)3 14. (13x + 2y)(19x2 − 23xy + 4y2)

Bài toán 3: Viết các đa thức sau thành tích

1. x2 − 6x + 9 8. (3x + 2)2 − 4
2. 25 + 10x + x2 9. 4x2 − 25y2
3. 14a2 + 2ab2 + 4b4 10.  4x2 − 49
4. 19 − 23y4 + y8 11.  8z3 + 27
5. x3 + 8y3 12.  925×4 − 14
6. 8y3 − 125 13.  x32 − 1
7. a6 − b3 14.  4x2 + 4x + 1
8. x2 − 10x + 25 15.  x2 − 20x + 100
9. 8x3 − 18 16.  y4 − 14y2 + 49
10. x2 + 4xy + 4y2 17. 125x3 − 64y3

Bài toán 4: Tính nhanh

1. 10012 6. 372 + 2.37.13 + 132
2. 29,9.30,1 7. 51,7 − 2.51,7.31,7 + 31,72
3. 2012 8. 20,1.19,9
4. 37.43 9. 31,82 − 2.31,8.21,8 + 21,82
5. 1992 10. 33,32 − 2.33,3.3,3 +. 3,32

Bài toán 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức

1. (x − 10)2 − x(x + 80) với x = 0,98 5. 9x2 + 42x + 49 với x = 1
2. (2x + 9)2 − x(4x + 31) với x = −16,2 6. 25x2 − 2xy + 125y2 với x = −15, y = −5
3. 4x2 − 28x + 49 với x = 4 7. 27 + (x − 3)(x2 + 3x + 9) với x = −3
4. x3 − 9x2 + 27x − 27 với x = 5 8. x3 + 3x2 + 3x + 1 với x = 99

Bài toán 6: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu hai bình phương

1. x2 + 10x + 26 + y2 + 2y 6. 4x2 + 2z2 − 4zx − 2z + 1
2. z2 − 6z + 13 + t + t2 4t 7. (x + y + 4)(x + y − 4)
3. x2 − 2xy + 2y2 + 2y + 1 8. (x − y + 6)(x + y − 6)
4. 4x2 + 2z2 − 4xz − 2z + 1 9. (y + 2z − 3)(y − 2z − 3)
5. 4x2 − 12x − y2 + 2y + 8 10. (x + 2y + 3z)(2y + 3z − x)

Bài toán 7: Tìm x, biết:

1. 25x2 − 9 = 0 6. 3(x − 1)2 − 3x(x − 5) = 1
2. (x − 3)2 − 4 = 0 7. (6x − 2)2 + (5x − 2)2 − 4(3x − 1)(5x − 2) = 0
3. x2 − 2x = 24 8. (x − 2)3 − x2(x − 6) = 4
4. (x + 4)2 − (x + 1)(x − 1) = 16 9. (x − 1)(x2 + x + 1) − x(x + 2)(x − 2) = 5
5. (2x − 1)2 + (x + 3)2 − 5(x + 7)(x − 7) = 0 10. (x − 1)3 − (x + 3)(x2 − 3x + 9) + 3(x2 − 4) = 2

Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1. x2 + 5x + 7
2. x2 − 20x + 101
3. 4a2 + 4a + 2
4. x2 − 4xy + 5y2 + 10x − 22y + 28
5. x2 + 3x + 7

Bài toán 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1. 6x − x2 − 5
2. 4x − x2 + 3
3. x − x2
4. 11 − 10x − x2
5. |x − 4|(2 − |x − 4|)

Bài toán 10: Cho x+y=5. Tính giá trị của các biểu thức

  1. a) P = 3x2 − 2x + 3y2 − 2y + 6xy − 100
  2. b) Q = x3 + y3 − 2x2 − 2y2 + 3xy(x + y) − 4xy + 3(x + y) + 10

Bài toán 11:

  1. a) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5. Tính x3 + y3.
  2. b) Cho x − y = 5 và x2 + y2 = 15. Tính x3 − y3.

Bài toán 12:

Cho x − y = 7. Tính giá trị của các biểu thức:

  1. a) M = x3 − 3xy(x − y) − y3 − x2 + 2xy − y2
  2. b) N = x2(x + 1) − y2(y − 1) + xy − 3xy(x − y + 1) − 95

Bài toán 13:

Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n2 chia cho 7 dư bao nhiêu? n3 chia cho 7 dư bao nhiêu?

Kết luận

Trên đây giới thiệu các bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ, các em học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu Toán 8 và đề thi học kì 1 lớp 8, đề thi học kì 2 lớp 8. Những đề thi này được Hangdangthuc.com biên soạn hoặc sưu tầm và chọn lọc từ các trường THCS trên cả nước nhằm mang lại cho học sinh lớp 8 những đề ôn thi học kì chất lượng nhất. Mời các em cùng quý phụ huynh tải miễn phí đề thi về và ôn luyện.

5/5 - (2 bình chọn)

Hồng Loan

Content Creator
Xin chào các bạn, mình là Hồng Loan. Hiện tại đang là blogger tự do tại Hangdangthuc.com. Trang web tổng hợp thông tin giáo dục miễn phí.